已知等差数列{an}的公差d=2，首项a1=5．求数列{an}的前n项和Sn；设Tn=n，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，

题文

已知等差数列{a_n}的公差d=2，首项a₁=5．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设T_n=n（2a_n-5），求S₁，S₂，S₃，S₄，S₅；T₁，T₂，T₃，T₄，T₅，并归纳出S_n与T_n的大小规律． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）S_n=5n+n(n-1)2×2=n（n+4）．
（2）T_n=n（2a_n-5）=n[2（2n+3）-5]，
∴T_n=4n²+n．
∴T₁=5，T₂=4×2²+2=18，T₃=4×3²+3=39，
T₄=4×4²+4=68，T₅=4×5²+5=105．
S₁=5，S₂=2×（2+4）=12，S₃=3×（3+4）=21，
S₄=4×（4+4）=32，S₅=5×（5+4）=45．
由此可知S₁=T₁，当n≥2时，S_n＜T_n．
归纳猜想：当n≥2，n∈N时，S_n＜T_n．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d=2，首项a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。