设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a3=12，S12＞0，S13＜0．求公差d的取值范围．指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意，有S12=12a1+12×(12-1)2•d＞0，
S13=13a1+13×(13-1)2•d＜0
即2a1+11d＞0①a1+6d＜0②
由a₃=12，得a₁=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得24+7d＞03+d＜0
∴-247＜d＜-3．
（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
则S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
⇒6(a1+a12)=6(a6+a7)＞0132(a1+a13)=26a72=13a7＜0，
∴a₆＞0，a₇＜0，
故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．

解析

12×(12-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn．已知.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。