已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1=1，各项均为正数的等比数列{bn}的第1项、第3项、第5项分别是a1、a3、a21．求数列{an}与{bn}

题文

已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，a₁=1，各项均为正数的等比数列{b_n}的第1项、第3项、第5项分别是a₁、a₃、a₂₁．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q
由题意，得a32=a1•a21，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+20d），解之得d=4（舍去0）
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3
而{b_n}的首项b₁=a₁=1，公比满足q²=a3a1=91=9，得q=3
∴b_n=b₁×3^n-1=3^n-1
综上所述，数列{a_n}与{b_n}的通项公式分别为a_n=4n-3、b_n=3^n-1；
（2）由（1）得a_nb_n=（4n-3）×3^n-1
∴S_n=1×1+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1…①
两边都乘以9，得
3S_n=1×3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ…②
①-②，得-2S_n=1+4（3¹+3²+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=4×3(1-3n-1)1-3+1-（4n-3）×3ⁿ=（5-4n）×3ⁿ-5
∴数列{a_nb_n}的前n项和S_n=12[（4n-5）×3ⁿ+5]

解析

a3a1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为公差不为零的等差数列，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。