定义：同时满足下列两个条件的数列{an} 叫做“上凸有界数列”，①an+an+22≤an+1②an≤M，M是与n无关的常数．若数列{an} 的前n项和为S

题文

定义：同时满足下列两个条件的数列{a_n} 叫做“上凸有界数列”，①an+an+22≤an+1②a_n≤M，M是与n无关的常数．
（I）若数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，试判断数列{a_n} 是否为上凸有界数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，T_n为其前n项和，且b₃=4，T₃=18，试证明：数列{T_n}为上凸有界数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）n=1时，a₁=s₁=2-1=1
n≥2时a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1
∴a_n=2^n-1
显然a_n=2^n-1是递增数列，故不存在常数M，使a_n≤M成立
∴数列{a_n} 不是上凸有界数列
（II）设{b_n}的公差为d，则
b1+2d=43b1+3×22d=18
解得b₁=8，d=-2
∴T_n=8n+n(n-1)2(-2)=-n²+9n
∵Tn+Tn+22-Tn+1=(Tn+2-Tn+1)-(Tn+1-Tn)2=bn+2-bn+12=d2=-1＜0
∴Tn+Tn+22≤Tn+1，即{T_n}满足条件①
又T_n=-n²+9n=-（n-92）²+814
当n=4或5时T_n取最大值20，即T_n≤20，满足条件②
综上数列{T_n}为上凸有界数列

解析

b1+2d=43b1+3×22d=18

考点

据考高分专家说，试题“定义：同时满足下列两个条件的数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。