已知f(x)=4+1x2，数列{an}的前n项和为Sn，点Pn在曲线y=f上，且a1=1，an＞0．求数列{an}的

题文

已知f(x)=4+1x2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，1an+1）（n∈N^*）在曲线y=f（x）上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为T_n，且Tn+1an2=Tnan+12+16n2-8n-3，求数列{b_n}的通项公式b_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知1an+1=4+1an2．
∴1an+12=4+1an2．
∴1an+12-1an2=4，即{1an2}是等差数列．
∴1an2=1a12+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．
∴an2=14n-3．
又∵a_n＞0，
∴an=14n-3．
（2）由题设知（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n+1）（4n-3）．
∴Tn+14n+1-Tn4n-3=1．
设Tn4n-3=cn，则上式变为c_n+1-c_n=1．
∴{c_n}是等差数列．
∴c_n=c₁+n-1=T11+n-1=b₁+n-1=n．
∴Tn4n-3=n，即T_n=n（4n-3）=4n²-3n．
∴当n=1时，b_n=T₁=1；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4（n-1）²+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴b_n=8n-7（n∈N^*）．

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=4+1x2，数列{an}的.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。