设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12nan+an-c，a2=6．求c的值及数列{an}的通项公式；证明：1a1a2

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=12nan+an-c（c是常数，n∈N*），a₂=6．
（Ⅰ）求c的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜18． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为Sn=12nan+an-c，
所以当n=1时，S1=12a1+a1-c，解得a₁=2c，
当n=2时，S₂=a₂+a₂-c，即a₁+a₂=2a₂-c，解得a₂=3c，
所以3c=6，解得c=2，
则a₁=4，数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+2；
（Ⅱ）因为1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
=14×6+16×8+…+1(2n+2)(2n+4)
=12(14-16)+12(16-18)+…+12(12n+2-12n+4)
=12[(14-16)+(16-18)+…+(12n+2-12n+4)]
=12(14-12n+4)
=18-14(n+2)．
因为n∈N*，所以1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜18．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。