公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=______．

题文

公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄是a₃与a₇的等比中项，S₈=32，则S₁₀=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设公差为d（d≠0），则有(a1+2d)(a1+6d)=(a1+3d)28a1+8•72d=32，化简得：d(3 d+2a1)=0①2a1+7d=8②，
因为d≠0，由①得到2a₁+3d=0③，②-③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a₁=-3，
所以方程组的解集为a1=-3d=2，
则S₁₀=10×（-3）+10×92×2=60．
故答案为：60

解析

(a1+2d)(a1+6d)=(a1+3d)28a1+8•72d=32

考点

据考高分专家说，试题“公差不为0的等差数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。