在等差数列{an}中，7a5+5a9=0，且a5＜a9，则使该数列前n项和Sn取得最小值时的n=______．

题文

在等差数列{a_n}中，7a₅+5a₉=0，且a₅＜a₉，则使该数列前n项和S_n取得最小值时的n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₉＞a₅，∴4d＞0即d＞0
又∵7a₅+5a₉=0，∴7（a₁+4d）+5（a₁+8d）=0
∴3a₁+17d=0，∴a₁=-173d＜0
∴a_n=a₁+（n-1）d=-173d+（n-1）d=（n-203）d
令（n-203）d≥0，解得n≥203，
故等差数列{a_n}中，前6项均为负值，从第7项开始全为正数，
故当n=6时，该数列前n项和S_n取得最小值，
故答案为：6

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，7a5+5a9=0.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。