已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=an-1-3(an-1＞3)4-an-1(an-1≤3)，当a=100时，填写下列列表格：

题文

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，an=an-1-3     (an-1＞3)4-an-1    (an-1≤3)，
（1）当a=100时，填写下列列表格：
n2335100a_n（2）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（3）令bn=an(-2)n，Tn=b1+b2+…+bn，求证：当1＜a＜43时，Tn＜4-3a3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）
n2335100a_n979431（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项）
=(100+1)×342+(3+1)×662
=1717+132
=1849．                  
（3）当1＜a＜43时，因为an=a，n为奇数4-a，n为偶数，
所以bn=an(-2)n=-a2 n，n为奇数4-a2n，n为偶数，
当n=2k，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=-a2+4-a22-a23+4-a24+…-a22k-1+4-a22k
=-(a2+a23+…+a22k-1)+(4-a22+4-a24+…+4-a22k)
=-a2[1-(14)k ]1-14+4-a4[1-(14)k ]1-14
=4-3a3[1-(14)k]．
因为1＜a＜43，所以4-3a3[1-(14)k]＜4-3a3，
当n=2k-1，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=-a2+4-a22-a23+4-a24+…-a22k-1
＜-a2+4-a22-a2 3+4-a24+…-a22k-1+4-a22k＜4-3a3．
所以Tn＜4-3a3．

解析

n2335100a_n979431

考点

据考高分专家说，试题“已知a为实数，数列{an}满足a1=a，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。