在数列{an}中，已知an+1=an-4且3a4=7a7，Sn为数列{an}的前n项和，Sn有最大值还是最小值？求出这个最值．

题文

在数列{a_n}中，已知 a_n+1=a_n-4且 3a₄=7a₇，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n有最大值还是最小值？求出这个最值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵a_n+1=a_n-4
∴a_n+1-a_n=-4
∴数列{a_n}为公差为-4数列的等差数列
∵3a₄=7a₇
∴a₁=33
∴a_n=-4n+37
令a_n≥0
∴n≤374
∴等差数列{a_n}的前9项均为正从第10项开始均为负
∴数列{a_n}的前n项和Sn有最大值
∴（s_n）mnx=s9=9×33-12×9×8×（-4）=153
即数列{a_n}的前n项和Sn有最大值且最大值为153

解析

374

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知an+1=an-4.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。