已直方程tan2x-433tanx+1=0在x∈[0，nπ），内所有根的和记为an写出an的表达式：求Sn=a1+a

题文

已直方程tan2x-433tanx+1=0在x∈[0，nπ），（n∈N^*）内所有根的和记为a_n
（1）写出a_n的表达式：（不要求严格的证明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）设b_n=（kn-5）π，若对任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）解方程得tanx=3或33（1分）
∴当n=1时，x=π3或π6，此时a1=π2（2分）
当n=2时，x=π6，π3，π6+π，π3+π，
∴a2=π2+(π2+2π)（3分）
依此类推：an=π2+(π2+2π)+…+[π2+2(n-1)π]
∴an=(n2-n2)π（5分）
（2）Sn=(12+22+…+n2)π-π2(1+2+…+n)
=n(n+1)(2n+1)6π-n(n+1)4π=
n(n+1)(4n-1)12π（9分）
（3）由a_n≥b_n得(n2-n2)π≥(kn-5)π
∴kn≤n2-n2+5
∵n∈N^*∴k≤n+5n-12（11分）
设f(n)=n+5n-12
易证f（n）在(0，5)上单调递减，在（5，+∞）上单调递增．    （13分）
∵n∈N^*f(2)=4，f(3)=256
∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“已直方程tan2x-433tanx+1=.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。