已知等差数列{an}中，Sn为{an}的前N项和，S3=15，a5=-1求{an}的通项an与Sn；bn=an+3n-9，求Tn=1b1b2+1b2

题文

已知等差数列{a_n}中，S_n为{a_n}的前N项和，S₃=15，a₅=-1
（1）求{a_n}的通项a_n与S_n；
（2）b_n=a_n+3n-9，求T_n=1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得a5=a1+4d=-1S3=3a1+3×22d=15，解得
a₁=7，d=-2，所以an=-2n+9，Sn=-n2+8n．
（2）b_n=a_n+3n-9=-2n+9+3n-9=n，
所以1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
所以Tn=b1+b2+…+bn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．

解析

a5=a1+4d=-1S3=3a1+3×22d=15

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，Sn为{an}的.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。