已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项公式；求数列{an}的前n项和Sn．

题文

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设知公差d≠0，由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列，
得（1+2d）²=1×（1+8d），即d²-d=0，…（4分）
解得d=1，d=0（舍去），…（6分）
故{a_n}的通项a_n=1+（n-1）×1=n．…（9分）
（2）由（Ⅰ）及等差数列前n项和公式得Sn=n(n+1)2…（14分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是公差不为零的等差数列，a1.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。