等差数列{an}中，a1=1，前n项和Sn满足条件S2nSn=4，n=1，2，…，求数列{an}的通项公式和Sn；记bn=an•2n-1，求数列{b

题文

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件S2nSn=4，n=1，2，…，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由S2nSn=4得a1+a2a1=4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
Sn=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2
（Ⅱ）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．
所以T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1       ①
2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ     ②
①-②得：-T_n=1+2•2+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1
=2×1×(1-2n)1-2-（2n-1）•2ⁿ-1
=2ⁿ•（3-2n）-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

解析

S2nSn

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a1=1，前n项和S.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。