已知在等差数列{an}中，a1=31，sn是它的前n项的和，s10=s22求sn；这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

题文

已知在等差数列{a_n}中，a₁=31，s_n是它的前n项的和，s₁₀=s₂₂
（1）求s_n；
（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵s₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀
S₂₂=a₁+a₂+…+a₂₂，又s₁₀=S₂₂
∴a₁₁+a₂+…+a₂₂=0
∴12(a11+a22)2=0，即a₁₁+a₂₂=2a₁+31d=0，又a₁=31，
∴d=-2
∴sn=na1+n(n-1)2d=31n-n(n-1)=32n-n2，
（2）∵s_n=32n-n²
∴当n=16时，s_n有最大值，s_n的最大值是256．

解析

12(a11+a22)2

考点

据考高分专家说，试题“已知在等差数列{an}中，a1=31，s.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。