已知等差数列{an}的前10项和S10=-40，a5=-3．求数列{an}的通项公式；设bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn

题文

已知等差数列{a_n}的前10项和S₁₀=-40，a₅=-3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=an+2an（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁、公差为d．
∵a₅=-3，S₁₀=-40，∴a1+4d=-310a1+10×92d=-40.
解得：a₁=5，d=-2．
∴a_n=7-2n．
另∵a₅=-3，S₁₀=-40，
∴S10=(a1+a10)2×10=5(a5+a6)=5(-3+a6)=-40．
解得 a₆=-5．
∴a_n=a₅+（n-5）×（-2）=7-2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差数列{a_n}的首项是5，公差是-2．
则bn=an+2an=7-2n+2^7-2n，
∴Tn=b1+b2+…+bn=a1+a2+…+an+25+23+…+27-2n
=(5+7-2n)•n2+25(1-2-2n)1-2-2
=6n-n2+128-27-2n3．

解析

a1+4d=-310a1+10×92d=-40.

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前10项和S10=.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。