记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．求数列{an}的通项公式；令bn=an•2n，求数列{bn}的前n项

题文

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂+a₄=6，S₄=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₄=6，S₄=10，
可得2a1+4d=64a1+4×32d=10，（2分），
即a1+2d=32a1+3d=5，
解得a1=1d=1，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，
故所求等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（5分）
（Ⅱ）依题意，b_n=a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂++b_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，（7分）
又2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，（9分）
两式相减得-T_n=（2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹（11分）=2(1-2n)1-2-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，（12分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（13分）

解析

2a1+4d=64a1+4×32d=10

考点

据考高分专家说，试题“记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。