已知数列{an}是各项均为为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2n-1=12a2n，n∈N*．求an；数列{bn}满足bn=2n-1，n为奇数

题文

已知数列{a_n}是各项均为为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足S_2n-1=12a2n，n∈N*．
（I）求a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=2n-1，n为奇数12an-1，n为偶数，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
在S_2n-1=12an2中，令n=1，2，得a12=2S1a22=2S3即a12=2a1(a1+d)2=2(3a1+3d)…3分
解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），
∴a_n=4n-2…5分
（Ⅱ）由（I）得b_n=2n-1，n为奇数2n-3，n为偶数…7分
∴T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分
=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n
=1-4n1-4+4•n(n+1)2-3n
=4n3-13+2n²-n…12分

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均为为0的等差数列.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。