设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．若首项a1=32，公差d=1．求满足Sk2=(Sk)2的正整数k；求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切

题文

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若首项a₁=32，公差d=1．求满足Sk2=(Sk)2的正整数k；
（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵首项a₁=32，公差d=1．
∴Sn=na1+n(n-1)2d=32n+n(n-1)2=12n2+n，
由Sk2=(Sk)2得12(k2)2+k2=(12k2+k )2，
即14k4- k3=0，
∵k是正整数，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）设数列a2的公差为d，
则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1，和k=2得S1=(S1)2S4=(S2)2，
即a1=a12，①4a1+6d=(2a1+d)2，②
由①得a₁=0或a₁=1，
当a₁=0时，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0则本题成立；
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意；
当a₁=1时，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0则a_n=1，S_n=n从而Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=n²，
从而Sk2=(Sk)2成立．
综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。