已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，又Sk=2550．求a及k值；求1S1+1S2+1S3+…+1S2006．

题文

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为S_n，又S_k=2550．
（1）求a及k值；
（2）求1S1+1S2+1S3+…+1S2006． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列前三项为a，4，3a，
∴2×4=a+3a，
∴a=2，
公差d=4-2=2
又∵S_k=2550，
∴2k+k(k-1)2×2=2550，
∴k²+k-2550=0，
∴k=50或k=-51（不合，舍去），即k=50
（2）等差数列2，4，6，…的前n项和S_n=n(2+2n)2，即S_n=n（n+1）
于是1Sn=1n(n+1)=1n-1n+1，
从而1S1+1S2+1S3+…+1S2006
=（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（12006-12007）=1-12007=20062007

解析

k(k-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。