设Sn是首项为4，公差d≠0的等差数列{an}的前n项和，若13S3和14S4的等比中项为15S5．求：{an}的通项公式an；使Sn＞0的最大n值

题文

设S_n是首项为4，公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，若13S₃和14S₄的等比中项为15S₅．求：
（1）{a_n}的通项公式a_n；
（2）使S_n＞0的最大n值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由条件得：S3S412=S2525，（4分）
∵S_n=a₁n+12n（n-1）d，
∴（12+5d）d=0，∵d≠0，得d=-125，
∴a_n=-12n+325．（5分）
（2）由a_n=-12n+325＞0，
得n＜83，∴n=2时，S_n取最大值，
∴使S_n＞0的最大n的值为4．（5分）

解析

S3S412

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是首项为4，公差d≠0的等差数列{.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。