设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知13S3与14S4的等比中项为15S5，13S3与14S4的等差中项为1．求等差数列{an}的通项an．

题文

设S_n是等差数列{a_n}前n项的和．已知13S3与14S4的等比中项为15S5，13S3与14S4的等差中项为1．求等差数列{a_n}的通项a_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，则通项为
a_n=a+（n-1）d，
前n项和为Sn=na+n(n-1)2d，
依题意有13S3•14S4=(15S5)213S3+14S4=2
其中S₅≠0．
由此可得13(3a+3×22d)×14(4a+4×32d)=125(5a+5×42d)213(3a+3×22d)+14(4a+4×32d)=2
整理得3ad+5d2=02a+52d=2
解方程组得d=0a=1d=-125a=4
由此得a_n=1；或a_n=4-125（n-1）=325-125n．
经验证知时a_n=1，S₅=5，或an=325-125n时，S₅=-4，均适合题意．
故所求等差数列的通项为a_n=1，或an=325-125n．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。