两个等差数列an的和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知SnTn=5n-9n+3，则使an=tbn成立的正整数t的个数是 ______；

题文

两个等差数列a_n的和b_n的前n项和分别为S_n和T_n，已知SnTn=5n-9n+3，则使a_n=tb_n成立的正整数t的个数是 ______； 题型：未知 难度：其他题型

答案

当5n-9n+3=1即n=3时，S3T3=a1+a2+a3b1+b2+b3=3a23b2=a2b2=1，则a₂=b₂，此时t=1；
当5n-9n+3=2即n=5时，S5T5=a1+a2+…+a5b1+b2+…+b5=5a35b3=a3b3=2，则a₃=2b₃，此时t=2；
当5n-9n+3=3即n=9时，S9T9=a1+a2+…+a9b1+b2+…+b9=9a59b5=a5b5=3，则a₅=3b₅，此时t=3；
当5n-9n+3=4即n=21时，S21T21=a1+a2+…+a21b1+b2+…+b21=21a1121b11=a11b11=4，则a₁₁=4b₁₁，此时t=4．
当5n-9n+3≥5时，解得的n不为正整数即t也不为正整数，所以满足题意的正整数t的个数是4
故答案为：4

解析

5n-9n+3

考点

据考高分专家说，试题“两个等差数列an的和bn的前n项和分别为.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。