已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn，bn=1Sn，求数列{bn}的通项公式；求证：b1+b2+…+bn＜2．

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=1，前n项和为S_n，bn=1Sn，
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＜2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}中a₁=1，公差d=1
∴Sn=na1+n(n-1)2d=n2+n2
∴bn=2n2+n…（4分）
（2）∵bn=2n2+n=2n(n+1)…（6分）
∴b1+b2+b3+…+bn=2(11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1))
=2(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)…（8分）
=2(1-1n+1)…（11分）
∵n＞0，
∴0＜1n+1＜1
∴0＜2(1-1n+1)＜2
∴b₁+b₂+…+b_n＜2．            …（14分）

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。