设数列an是一等差数列，数列bn的前n项和为Sn=23(bn-1)，若a2=b1，a5=b2．求数列an的通项公式；求数列bn的前n项和Sn．

题文

设数列a_n是一等差数列，数列b_n的前n项和为Sn=23(bn-1)，若a₂=b₁，a₅=b₂．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）求数列b_n的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S1=23(b1-1)=b1，∴b₁=-2，
又S2=23(b2-1)=b1+b2=-2+b2，∴b₂=4，∴a₂=-2，a₅=4，（2分）
∵a_n为一等差数列，∴公差d=a5-a23=63=2，（4分）
即a_n=-2+（n-2）•2=2n-6．（6分）
（2）∵Sn+1=23(bn+1-1)①，Sn=23(bn-1)②，
①-②得Sn+1-Sn=23(bn+1-bn)=bn+1，∴b_n+1=-2b_n，（9分）
∴数列b_n是一等比数列，公比q=-2，b₁=-2，即b_n=（-2）ⁿ．
∴Sn=23[(-2)n-1]．（12分）

解析

23

考点

据考高分专家说，试题“设数列an是一等差数列，数列bn的前n项.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。