在正项等比数列{an}中，a5=12，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为______．

题文

在正项等比数列{a_n}中，a5=12，a₆+a₇=3，则满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设正项等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
由题意可得a1q4=12a1q5(1+q)=3，解之可得得：a₁=132，q=2，
故其通项公式为a_n=132×2n-1=2^n-6．
记T_n=a₁+a₂+…+a_n=132(1-2n)1-2=2n-125，
S_n=a₁a₂…a_n=2^-5×2^-4…×2^n-6=2^-5-4+…+n-6=2(n-11)n2．
由题意可得T_n＞S_n，即2n-125＞2(n-11)n2，
化简得：2ⁿ-1＞212n2-112n+5，即2ⁿ-212n2-112n+5＞1，
因此只须n＞12n2-112n+5，即n²-13n+10＜0
解得 13-1292＜n＜13+1292，
由于n为正整数，因此n最大为13+1292的整数部分，也就是12．
故答案为：12

解析

a1q4=12a1q5(1+q)=3

考点

据考高分专家说，试题“在正项等比数列{an}中，a5=12，a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。