设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足b1a1+b2a2+…+bnan

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N^*，得：
当n=1时，b1a1=12，
当n≥2时，bnan=（1-12n）-（1-12n-1）=12n，显然，n=1时符合．
∴bnan=12n，n∈N^*
由（Ⅰ）知，a_n=2n-1，n∈N^*．
∴b_n=2n-12n，n∈N^*．
又T_n=12+322+523+…+2n-12n，
∴12T_n=122+323+…+2n-32n+2n-12n+1，
两式相减得：12T_n=12+（222+223+…+22n）-2n-12n+1
=32-12n-1-2n-12n+1
∴T_n=3-2n+32n．

解析

4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。