设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．求a2a1的值；若a5=9，求an及Sn，的表达式．

题文

设S_n是公差不为0的等差数列a_n的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．（1）求a2a1的值；（2）若a₅=9，求a_n及S_n，的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意，得S₂²=S₁•S₄
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因为d≠0
所以d=2a₁，故a2a1=3；
（2）因为a₅=9，d=2a₁，a₅=a₁+8a₁=9a₁，
所以a₁=1，d=2
因此a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，S_n=n²

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。