已知{an}是等差数列，其中a1=25，a4=16，求{an}的通项；求a1+a3+a5+…+a19值；n为何值时，Sn取最大值？

题文

已知{a_n}是等差数列，其中a₁=25，a₄=16，
（Ⅰ）求{a_n}的通项；
（Ⅱ）求a₁+a₃+a₅+…+a₁₉值；
（Ⅲ）n为何值时，S_n取最大值？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则25+3d=16．解得d=-3，
故{a_n}的通项为a_n=25-3（n-1）=28-3n；
（Ⅱ）由题意可得a₁+a₃+a₅+…+a₁₉是首项为25，
公差为-6的等差数列的前10项和，
故其和S=10×25+10×92×(-6)=-20；
（Ⅲ）令a_n=28-3n≤0，可解得n≥913，
故可得{a_n}的前9项为正，从第10项开始为负，
故当n=9时，S_n取最大值

解析

10×92

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，其中a1=25，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。