已知等差数列{an}的公差d＞0，且a1，a2是方程x2-14x+45=0的两根，求数列{an}通项公式设bn=2anan+1，数列{bn}的前n项

题文

（1）已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根，求数列{a_n}通项公式
（2）设bn=2anan+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₁，a₂是方程x²-14x+45=0的两根，
∴a₁=5，a₂=9，
∴公差d=4，
∴a_n=4n+1；
（2）证明：∵b_n=2anan+1=12（14n+1-14n+5），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=12[（15-19）+（19-113）+…+（14n+1-14n+5）]
=12（15-14n+5）＜110＜1．

解析

2anan+1

考点

据考高分专家说，试题“（1）已知等差数列{an}的公差d＞0，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。