设正项数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，点都在函数f(x)=14x2+12x的图象上．求数列{an}的通项公式；设bn

题文

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的n∈N^*，点（a_n，S_n）都在函数f(x)=14x2+12x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1an•an+1，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=14an2+12a_n，①
∴S_n+1=14an+12+12a_n+1，②
②-①得：a_n+1=14（an+12-an2）+12（a_n+1-a_n），
∴14（an+12-an2）=12（a_n+1+a_n），
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2．
又a₁=14a12+12a₁，
∴a₁=2，
∴正项数列{a_n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵a_n=2n，
∴b_n=1an•an+1=12n(2n+2)=14（1n-1n+1），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=14[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）]
=14（1-1n+1）
=n4(n+1)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设正项数列{an}的前n项和为Sn，对于.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。