设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足b1a1+b2a2+…+bnan

题文

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b1a1+b2a2+…+bnan=2n-12n，n∈N*，求{b_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1----（2分）
解得a₁=1，d=2-----（4分）
∴an=2n-1，n∈N*----（5分）（注：不写n∈N^*扣1分）
（2）由已知b1a1+b2a2+…+bnan=1-12n，n∈N*，---①
当n=1时，b1a1=12，n∈N*；---（6分）
当n≥2时，b1a1+b2a2+…+bn-1an-1=1-12n-1，---②
将①-②，得bnan=1-12n-(1-12n-1)=12n(n≥2)，----（7分）
∴bnan=12n(n≥2)，
由（1）知an=2n-1，n∈N*，∴bn=2n-12n(n≥2)------（8分）
∴检验n=1，b1=12•1=12，符合，
∴bn=2n-12n(n∈N*)---（9分）
（3）由已知得Tn=12+322+…+2n-12n----③，
12Tn=122+323…+2n-32n+2n-12n+1----④----（10分）
将③-④，得，12Tn=12+2(122+123+…+12n)-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1-----13
∴Tn=3-2n+32n----（14分）

解析

4a1+6d=8a1+4da1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

考点

据考高分专家说，试题“设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。