等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S15=225．数列{bn}满足：bn+1-bn=an(n∈N*)，b1=1，求数列{bn}的通项公式；（2

题文

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（1）数列{b_n}满足：bn+1-bn=an(n∈N*)，b 1=1，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设cn=2an+2n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知得：a1+2d=515a1+15×142d=225，
解得：a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1，
又b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+a₁+a₂+…+a_n-1=1+(n-1)(2n-2)2=n2-2n+2．
（2）cn=2an+2n=22n-1+2n=12•4n+2n
∴Tn=c1+c2+…+cn=12(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=23(4n-1)+n2+n．

解析

a1+2d=515a1+15×142d=225

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。