设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：①an+an+22≤an+1，②an≤M．其中n∈N+，M是与n无关的常数．设数列{bn}的通项为bn

题文

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①an+an+22≤a_n+1，②a_n≤M．其中n∈N⁺，M是与n无关的常数．
（1）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，证明：{b_n}∈W；
（2）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₄=2，S₄=20，证明：{S_n}∈W并求M的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）bn+bn+22=5n-2n+5(n+2)-2n+22=5(n+1)-54•2n+1
又bn+1=5(n+1)-2n+1∵54•2n+1＞2n+1∴bn+bn+22≤bn+1…（3分）
∵bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n
∴当n≤2时b_n+1＞b_n，
当n≥3时b_n+1＜b_n，
∴当n=3时，{b_n}取得最大值7
∴b_n≤7，由已知{b_n}∈W…（6分）
（2）由已知：设a_n=a₁+（n-1）d
∵a₄=2，s₄=20
∴a₁+3d=4，4a₁+6d=20
得∴a₁=8，d=-2，
∴a_n=10-2n，
sn=8n+n(n+1)2•(-2)=-n2+9n…（8分）
∴sn+sn+22=-n2+9n-(n+1)2+9(n+2)2=-n2+7n+7
又sn+1=-(n+1)2+9(n+1)=-n2+7n+8，
∴sn+sn+22≤sn+1…（10分）
sn=-n2+9n=-(n-92)2+814
又∵n∈N⁺，
∴当n=4或5时，{s_n}取得最大值20
∴s_n≤20…（13分）
∴{s_n}∈W且M≥20
∴M的取值范围为M≥20…（14分）

解析

bn+bn+22

考点

据考高分专家说，试题“设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。