已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=4，S5=35．求数列{an}的前n项和Sn；若数列{bn}满足bn=pan，求数列{bn}的

题文

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，S₅=35．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=p an（p≠0），求数列{b_n}的前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
则a1+d=45a1+5(5-1)2d=35
解得a1=1d=3，
∴a_n=3n-2．
∴前n项和S_n=n(1+3n-2)2=n(3n-1)2．
（Ⅱ）∵a_n=3n-2，∴bn=p3n-2，且b₁=p（p≠0）．
当n≥2时，bnbn-1=p3n-2p3(n-1)-2=p³为定值，
∴数列b_n构成首项为p，公比为p³的等比数列．     
所以   （1）当p³=1，即p=1时，T_n=n，
（2）当p³≠1，即p≠1时数列{b_n}的前n项的和是
Tn=p(1-p3n)1-p3=p3n+1-pp3-1．

解析

a1+d=45a1+5(5-1)2d=35

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。