等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5=a52．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=n2+n+

题文

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₃，a₉成等比数列，S₅=a₅²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n2+n+1anan+1，求数列{b_n}的前99项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），
∵a₁，a₃，a₉成等比数列，∴a₃²=a₁a₉．
（a₁+2d）²=a₁（a₁+8d），d²=a₁d．
∵d≠0，∴a₁=d．①
∵S₅=a₅²，∴5a₁+5×42•d=（a₁+4d）²．②
由①②得a₁=35，d=35．
∴a_n=35+（n-1）×35=35n．
（2）b_n=n2+n+135n•35(n+1)=259•n2+n+1n(n+1)=259(1+1n-1n+1)，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₉₉=
259[99+（1-12）+（12-13）+（199-1100）]
=259（100-1100）=11114．

解析

5×42

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}是递增数列，前n项和为S.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。