设a1、d为实数，若首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项的和为Sn，满足S5•S6=-15，则a1的取值范围是______．

题文

设a₁、d为实数，若首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，满足S₅•S₆=-15，则a₁的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵S₅•S₆=-15，由等差数列的前n项公式得（5a₁+10d）（6a₁+15d）=-15，
展开并化简整理得30d²+27a₁d+6a₁²+3=0，将此式看作关于d的一元二次方程，a₁为系数．
∵a₁、d为实数，∴△=27a₁ ²-4×30×（6a₁²+3 ）≥0．化简整理得a₁²-40≥0，∴a₁ ∈(-∞，-210]∪[210，+∞)
故答案为：(-∞，-210]∪[210，+∞)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设a1、d为实数，若首项为a1，公差为d.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。