已知等差数列{an}中，a1=-1，前12项和S12=186．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=(12)an，记数列{bn}的前n项

题文

已知等差数列{a_n}中，a₁=-1，前12项和S₁₂=186．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(12)an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜167（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=-1，S₁₂=186，∴S12=12a1+12×112d，…（2分）
即 186=-12+66d．…（4分）
∴d=3．…（5分）
所以数列{a_n}的通项公式 a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．…（7分）
（Ⅱ）证明：∵bn=(12)an，a_n=3n-4，∴bn=(12)3n-4．…（8分）
∵当n≥2时，bnbn-1=(12)3=18，…（9分）
∴数列{b_n}是等比数列，首项b1=(12)-1=2，公比q=18．…（10分）
∴Tn=2[1-(18)n]1-18=167×[1-(18)n]．…（12分）
∵0＜18＜1，∴0＜(18)n＜1(n∈N*)，
∴1-(18)n＜1(n∈N*)．…（13分）
∴Tn=167×[1-(18)n]＜167．…（14分）

解析

12×112

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，a1=-1，前1.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。