已知数列{an}的前项和Sn=n2+2n；求数列的通项公式an；设Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1，求Tn．

题文

已知数列{a_n}的前项和Sn=n2+2n；
（1）求数列的通项公式a_n；
（2）设Tn=1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1①． …（4分）
当n=1时，a1=S1=12+2×1=3，也满足①式…（6分）
所以数列的通项公式为  a_n=2n+1．（7分）
（2）1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)…（10分）
Tn=12(13-15+15-17+17-19+…12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)=n3(2n+3)．…（14分）

解析

1anan+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前项和Sn=n2+2n.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。