等差数列{an} 的前n项的和为Sn，且S5=45，S6=60．求{an} 的通项公式；若数列{bn} 满足bn-bn=an-1，且b1

题文

等差数列{a_n} 的前n项的和为S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n} 满足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，设数列{1bn}的前n项和为T_n．求证：T_n＜34． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₆=S₆-S₅=15，由S6=(a1+a6)×62=60，
解得a₁=5，又∵d=a6-a16-1=2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）证明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
叠加得bn-b1=(a1+an-1)(n-1)2=(5+2n+1)(n-1)2，
所以bn=n2+2n．…（9分）
∴1bn=1n2+2n=12[1n-1n+2]，
∴Tn=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2)
=12(32-1n+1-1n+2)
=34-12(1n+1+1n+2)＜34．…（12分）

解析

(a1+a6)×62

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an} 的前n项的和为Sn，且.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。