设{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知S7=63，a4+a5+a6=33，写出数列{an}的通项公式；求数列bn=2an+n，求数列{bn}的

题文

设{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知S₇=63，a₄+a₅+a₆=33，
（1）写出数列{a_n}的通项公式；
（2） 求数列b_n=2^an+n，求数列{b_n}的前n项和Tn；
（3） 求证：1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜34 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵s7=(a1+a7)2×7=7a4=63
∴a₄=9，又a₄+a₅+a₆=33，3a₅=33，则a₅=11
 公差d=2，a_n=2n+1；
（2）∵b_n=2^an+n=2²ⁿ⁺¹+n
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2³+1）+（2⁵+2）+••+（2²ⁿ⁺¹+n）
=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）+（1+2+…+n）
=8(4n-1)3+n(n+1)2
 （3）由等差数列的前n项和公式可得，Sn=3n+n(n-1)2×2=n2+2n=n(n+2)
∴1Sn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
∴1S1+1S2 +…+1Sn=12(1-13+12-14+…+1n-1n+2)
=12(1+12-11+n-1n+2 )=34-2n+32(n+1)(n+2)＜34

解析

(a1+a7)2

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是等差数列，其前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。