已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为______．

题文

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则ann的最小值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，
∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×2+2×1+33
=2×(n-1)×(n-1+1)2+33
=n²-n+33，
上式对于n=1时也成立．
∴an=n2-n+33．
∴ann=n+33n-1．
令f(x)=x+33x-1（x＞0）．
则f′(x)=1-33x2=x2-33x2．
由f′（x）＞0，解得x＞33；由f′（x）＜0，解得0＜x＜33．
∴函数f（x）在[33，+∞)上单调递增；在(0，33]上单调递减．
∵n∈N^*，∴当n=5或6时，f(n)=ann取得最小值．
而f(6)=6+336-1=212，f(5)=5+335-1=535＞212，
∴则ann的最小值为f（6）=212．
故答案为212．

解析

(n-1)×(n-1+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=33，an+1.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。