已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3-2，Tn=2bn-2．求公差

题文

已知等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且{a_n}、{b_n}满足条件：S₄=4a₃-2，T_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范围；
（Ⅲ）若a₁=-4，令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和V_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等比数列{b_n}的公比为q，由S₄=4a₃-2，得4a1+4×32×d=4(a1+2d)-2，化为6d=8d-2，解得d=1．即公差d=1．
（II）由S_n≥S₅成立，得到na1+n(n-1)2×1≥5a1+5×42×1，化为（n-5）（2a₁+n+4）≥0．
由于对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，∴n≥52a1+n+4≥0且1≤n＜52a1+n+4≤0
解得-92≤a1≤-4．
∴a1∈[-92，-4]．
（III）①当a₁=-4时，a_n=-4+（n-1）×1=n-5；
②当n=1时，b₁=T₁=2b₁-2，解得b₁=2；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2）=2b_n-2b_n-1，化为b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2×2n-1=2n．
∴cn=(n-5)•2n．
∴Vn=-4×21-3×22-2×23-24+0+2⁶+2×2⁷+…+（n-5）•2ⁿ，
2Vn=-4×22-3×23-2×24-2⁵+2⁷+2⁸+…+（n-6）•2ⁿ+（n-5）•2ⁿ⁺¹．
两式相减得-V_n=-8+2²+2³+…+2ⁿ+（5-n）•2ⁿ⁺¹=-10+2×(2n-1)2-1+(5-n)•2n+1，
化为Vn=12+(n-6)•2n+1．

解析

4×32

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差为d，前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。