设数列{an}的通项公式为an=pn+q．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．若p=1

题文

设数列{a_n}的通项公式为a_n=pn+q（n∈N^*，P＞0）．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=12，q=-13，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意，得an=12n-13，
解12n-13≥3，得n≥203．
∴12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b₃=7．
（Ⅱ）由题意，得a_n=2n-1，
对于正整数m，由a_n≥m，得n≥m+12．
根据b_m的定义可知
当m=2k-1时，b_m=k（k∈N^*）；
当m=2k时，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．
（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得n≥m-qp．
∵b_m=3m+2（m∈N^*），根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+1＜m-qp≤3m+2，
即-2p-q≤（3p-1）m＜-p-q对任意的正整数m都成立．
当3p-1＞0（或3p-1＜0）时，得m＜-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），这与上述结论矛盾！
当3p-1=0，即p=13时，得-23-q≤0＜-13-q，
解得-23≤q＜-13．（经检验符合题意）
∴存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）；p和q的取值范围分别是p=13，-23≤q＜-13．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的通项公式为an=pn+q.....”主要考查你对 [等差数列的前n项和 ]考点的理解。 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和的公式：

（1）

，（2）

，（3）

，（4）


当d≠0时，S_n是关于n的二次函数且常数项为0，



｛a_n｝为等差数列，反之不能。

等差数列的前n项和的有关性质：

（1）

，…成等差数列；
（2）｛a_n｝有2k项时，

＝kd；
（3）｛a_n｝有2k+1项时，S_奇=（k+1）a_k+1=（k+1）a_平， S_偶=ka_k+1=ka_平，S_奇：S_偶=（k+1）：k，S_奇－S_偶＝a_k+1=a_平；

解决等差数列问题常用技巧：

1、等差数列中，已知5个元素：a₁，a_n，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…
2、等差数列｛a_n｝中，（1）若a_p=q，a_q=p，则列方程组可得：d=-1，a₁=p+q-1，a_p+q=0，S=-（p+q）；
(2)当S_p＝S_q时（p≠q），数形结合分析可得S_n中最大

，S_p+q＝0，此时公差d＜0。