设正项等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知a2=2，a3a4a5=29．求首项a1和公比q的值；试证明数列{logman}（m＞0且

题文

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n， 已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首项a₁和公比q的值；
（2）试证明数列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）为等差数列。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）因为a₃a₄a₅=a₄³=2⁹，所以a₄=8，
所以q²=a₄÷a₂=4，
又q＞0，所以q=2，且a₁=1。
（2）由（1）知a_n=2^n-1，
故b_n=log_ma_n=(n-1)log_m2，
而bn+1-bn=log_m2(常数)，
所以，数列为等差数列。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设正项等比数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。