已知f(x)=logmx，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．(Ⅰ)

题文

已知f(x)=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f(a₁)，f(a₂)，…，f(a_n)(n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式，并证明{a_n}是等比数列；
(Ⅱ)若b_n=a_n·f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=

时，求S_n；
(Ⅲ)若c_n=a_nlga_n，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由题意，

，
即

，所以，

，
所以

，
∵m＞0且m≠1，
∴m²为非零常数，
所以，数列

是以

为首项，m²为公比的等比数列。
 (Ⅱ)由题意，

，
当m=

时，

，
所以，

，①
①式两端同乘以2，得


，②
②-①并整理，得








。
(Ⅲ)由题意，

，
要使

对一切n≥2成立，
即

对一切n≥2成立，
①当m＞1时，

对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，

，
所以，

对一切n≥2成立，只需

，
解得：

，考虑到

，所以，

，
综上，当

或

时，数列

中每一项恒小于它后面的项。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=logmx.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。