将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表： 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…，构成的数列为{bn

题文

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：

记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

。
（1）求证数列

成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）上表中，若a₈₁项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比q为正数，求当a₈₁=

时，公比q的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由已知，当n≥2时，

，
又

，
所以，

，
即

，所以

，
又

，
所以，数列

是首项为1，公差为

的等差数列。
所以

，即

，
所以，当n≥2时，

，
因此，

。
（2）因为

，
所以表中第1行至第12行共含有数列

的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，
所以，

，
又

，所以q=2。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“将数列{an}中的所有项按每.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。