设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且q＞0，q≠1，(Ⅰ)若a1=qm，m∈Z，且m≥-l，求证：数列{an}中任意不同的两项之积仍为数列{

题文

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且q＞0，q≠1，
(Ⅰ)若a₁=q^m，m∈Z，且m≥-l，求证：数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项；
(Ⅱ)若数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项，求证：存在整数m，且m≥-1，使得a₁=q^m。 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：(Ⅰ)设a_r，a_t为等比数列{a_n}中不同的两项，
由a₁=q^m，得a_r·a_t=a₁q^r-1a1q^t-1=a₁q^(r+t+m-1)，
又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-l≥1，
所以a_r、a_t是数列{a_n}的第r+m+t-l项。
(Ⅱ)等比数列{a_n}中任意不同两项之积仍为数列{a_n}中的项，
令a_s·a_t=a_l(l，t，s∈N*，t≠s)，
由a_s=a₁·q^s-1，a_t=a₁·q^t-1，a_l=a₁·q^l-1，得a₁·q^s-1·a₁·q^t-1=a₁·q^l-1，a₁=q^l-s-t+1，
令整数m=l-s-t+1，则a₁=q^m，
下证整数m≥-1，
若设整数m＜-1，则-m≥2，令k=-m，
由题设，取a₁，a_k，使a₁·a_k=a_r(r∈N*)，
即a₁·a₁·q^k-1=a₁·q^r-1， 所以q^m·q^-m-1=q^r-1，即q^-1=q^r-1，
因q＞0，q≠1，
故-1=r-1，r=0与r∈N*矛盾！
所以m≥-1。

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的首项为a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。