给出下面的数表序列： 其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数

题文

给出下面的数表序列：

其中表n(n=1，2，3，…)有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
(Ⅰ)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)（不要求证明）；
(Ⅱ)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{b_n}，求和：


。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)表4为


，
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列，
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，
简证如下（对考生不作要求）
首先，表n(n≥3)的第1行1，3，5，…，2n-1是等差数列，其平均数为

，
其次，若表n的第k(1≤k≤n-1)行a₁，a₂，…，a_n-k+1是等差数列，则它的第k+l行a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n-k+a_n-k+1也是等差数列．由等差数列的性质知，表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是


，
由此可知，表n(n≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
(Ⅱ)表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是

，
由(Ⅰ)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n·2^k-1），
于是，表n中最后一行的唯一一个数为b_n=n·2^n-1，
因此，




，
故











。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“给出下面的数表序列： .....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。