设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切．对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1，相互外切

题文

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=

x相切．对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1，相互外切．以r_n表示C_n的半径，已知{r_n}为递增数列，
(Ⅰ)证明：{r_n}为等比数列；
(Ⅱ)设r₁=1，求数列

的前n项和．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)将直线y=

x的倾斜角记为θ，则有

，

，
设C_n的圆心为

，
则由题意知

，得

，
同理λ_n+1=2r_n+1，
从而λ_n+1=λ_n+r_n+r_n+1=2r_n+1，
将λ_n=2r_n代入，解得r_n+1=3r_n，
故{r_n}为公比q=3的等比数列．
(Ⅱ)由于

，
故

，从而

，
即

，
则有S_n=1+2×3^-1+3×3^-2+... +n·3^1-n， ①


=1×3^-1+2×3^-2+…+(n-1)·3^1-n+n·3^-n， ②
①-②，得





，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设C1，C2，…，Cn，…是.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。